转载自腾讯新闻知识官 科学有故事汪诘 企鹅号

2020年未来科学大奖的数学奖，颁给了山东大学彭实戈教授。他31岁才学高等数学，40多岁创造倒向方程，50多岁创造非线性期望理论，73岁拿下百万美元数学大奖。小到投资股票，大到导弹发射，他的基础数学理论，不仅应用广泛，甚至成为世界第三次金融革命的主流工具。

腾讯新闻知识官、科普作家汪诘与牛津大学数学教授钱忠民、山东大学数学院院长陈增敬聚首，在线共话2020未来科学大奖之数学与计算机科学奖。

汪诘：先请钱教授给我们上一小节基础数学课，讲讲怎么理解数学中的线性和非线性。

钱忠民：线性系统最简单的一个例子，就是一条直线。我们知道，一条直线由两个点来决定，直线上另外的点，都可以用这两个点来线性地表示出来。我们说一个系统是线性的，指的是什么意思呢？如果我们给系统输入一条直线，输出也是一条直线，我们称这样的系统是一个线性的系统。当然，这是简化的讲法，不是很准确。科学研究中，所涉及到的线性系统更加复杂。但大致上是这么一个意思。

了解了什么是线性系统，大家都可以知道，非线性系统指的就是不是线性的系统。我们涉及到的系统，大部分是非线性的系统。

汪诘：据我所知，彭教授这次获奖是因为他开创了数学领域里面新的分支，就是被称作倒向随机微分方程。继续请钱教授来解释一下倒向随机微分方程的含义。

钱忠民：我们日常生活中经常遇到很多不确定的东西，比方说明天会不会下雨，我们今天是无法知道结果的。我们今天做了股票投资，明天股票的价格也是不知道的。我们把这些不确定的现象称作随机的现象。现代科学里面有一个基本的观点，宇宙万物事实上都是服从随机的规律，而并不是确定性的规律。随机并不等于没有规律，它也是有规律可循的。比方说硬币，我们知道只出现两个结果，或者正面，或者反面。数学中有一个很重要的学科叫做概率论，就是来研究随机现象的。

方程是不同的量子间的关系，一个方程如果牵涉到一些未知的、不能确定的一些量，我们就把它称为随机方程。举了例子，我们要发一个导弹。大家都知道有一个初始的位置，把这个导弹放在什么地方，然后给它一个速度，就发上去了。如果这个力是确定性的话，根据牛顿定律，我们就会知道火箭每时每刻的位置应该在什么地方。但如果力是随机的，比方说在运动过程中导弹受到了随机的干扰，这个轨道就不再是原来的牛顿方程能够确定的，要解出导弹轨道就要解随机微分方程。这样的方程，我们称为是正向的随机微分方程。为什么呢？因为我们要用初始的值来确定以后轨道的行走。这个理论是上世纪四十年代由日本的著名数学家伊藤清建立的，怎么研究正向的随机微分方程。

那么倒向随机微分方程是什么呢？打个比方，我要制定这个导弹在某时某刻打到什么地方，为了实现这个目标，我要返回来确定这个初始的条件，这个就是倒向的问题。当然，我这是简化的说法。彭老师的倒向随机微分方程，比这个要复杂得多。自然界告诉我们，一般来说所有的动力系统，自然的现象都是不可逆的，所以要解倒向随机微分方程，事实上这个困难会很大。制定一个目标，然后考虑怎样去达到这个目标，你可以想象为什么这样的理论会在经济或金融里面有很大的运用。

汪诘：谢谢钱老师！陈教授，您有什么补充吗？

陈增敬：彭老师的倒向随机微分方程产生以后，在金融界产生了两个新的思维，过去我们常说是正向思维，现在是倒向思维。

什么是正向思维呢？比方说我们今天投资了一只股票，未来的股票收益是不确定的，是随着时间的发展而变化的，也是没法控制的。我们只能预测未来，根据现在来预测未来，这就是一个正向思维。

那倒向思维是什么意思呢？现在倒过来，我们如果未来要达到一定的收益，那我现在应该怎么干？怎么投资？投资多少钱？我要为了那个目标来设计，我根据未来的目标来确定现在，这叫倒向思维。

大家知道在经济领域，很多问题是用倒向思维来解决的。比方说股票是正向思维，期货、期权是倒向思维，如果把这两个结合起来就叫正倒向思维。从认识角度，它改变了我们思维的方式和方法。

汪诘：感谢陈教授！在给彭教授的颁奖词中，提到了彭教授的三个贡献，除了刚才谈的倒向随机微分方程，还有两个，一个是非线性Feynman-Kac公式，一个是非线性数学期望理论。请教钱教授，这三个课题之间有什么样的关系呢？它们是有关联的吗？

钱忠民：倒向随机微分方程、非线性Feynman-Kac公式、非线性数学期望，这三个事情事实上是统一的。我刚才已经解释了什么是倒向随机微分方程，现在我想解释一下Feynman-Kac公式，这里有两个人名在里面，一个是Feynman，一个叫Kac。

Feynman，是近代最有影响力的物理学家之一。他的伟大贡献在于什么地方呢？他发展了一套所谓泛函积分的理论，这个理论影响深远。所谓的泛函积分就是一种取平均值的办法，在数学上面，我们在概率论用科学的术语说，是一种寄期望的办法，是线性期望的办法。他用这个办法来解复杂的量子力学的方程。

还有一个名字是Kac，Kac是很著名的数学家。Kac为什么有名呢？Kac的贡献就是把Feynman泛函积分的方法写清楚了。量子力学中有一个最基本的方程，就是所谓的薛定谔方程。Feynman的巧妙想法是这样，我就直接把解给写下来，并不是拘泥于薛定谔方程，这个方法事实上一下子就可以推广到其他地方去。

薛定谔方程是线性的，Feynman-Kac公式是一个泛函积分的方法，对线性方程有用。如果这个方程是非线性的，那你怎么样用泛函积分把它写下来？几十年来，事实上大家连猜都猜不出来，非线性的Feynman-Kac公式应该是什么样子。

彭老师就意识到了一点，在他创立了倒向随机微分方程之后，一下子意识到他的方法事实上对数学里面的随机偏微方程解的新的看法，他一下子意识到倒向随机微分方程，恰巧就是Feynman-Kac公式的非线性形式。一旦认识到这一点，就马上有应用了，就是怎么样能够把Feynman-Kac非线性公式应用到具体问题上去，这就是把两件事情，把Feynman-Kac公式完全联系起来。

线性期望可以用来帮助你不解方程，直接把方程的解给写下来。这样不仅在数学上面是一个很大的突破，而且搞应用、搞计算的人特别喜欢，因为有了公式马上就可以算了。彭老师意识到事实上我不仅可以把倒向随机微分方程解释为非线性的Feynman-Kac公式，事实上还可以把它解释为非线性的期望，也就是取平均值的过程。一旦认识到这一点，其他搞应用的就会把它用上去。彭院士一个伟大的贡献，就是把这三件事情统一起来，同时解决了非线性期望跟非线性Feynman-Kac公式的问题。

汪诘：我想问一下陈教授，为什么说彭教授的研究是具有重要的开创性意义？现在他这个研究，在国际上处于什么样的地位呢？

陈增敬：这一次彭院士获奖是三个层面的，分别是倒向随机微分方程、非线性Feynman-Kac公式、非线性数学期望。

大家知道我们数学里面，一般研究都是正向方程，根据现在预测未来。彭老师研究了倒向方程，就是在数学的万花丛中增加了一个新的数学研究领域，会带来数学大力的发展。

第二个是在金融领域的应用和取得的作用。金融对于我们的生活影响越来越大了，金融的核心问题是“一个中心两个基本点”，中心是风险，两个基本点是定价和投资策略。

马考维茨在上世纪五十年代提出了风险理论，就是投资组合理论，他因这个而获得了诺贝尔奖。这个理论说明了什么问题呢？凡是风险的东西，就是在投资方面一定要谨慎，也是我们常说的鸡蛋不能放在一个篮子里面，这是他的思想。

到七十年代，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）给出了Black-Scholes公式，这是一个定价公式。在定价的时候，可以用股票和债券作为参照物。这给现在期货期权市场提供了非常有力的工具，风险怎么算，定价怎么做。Black-Scholes于1997年因为这个理论获得了诺贝尔奖。

我们现在金融的缤纷世界应该说是这两个理论产生和带动起来的。这两个理论在完美市场用起来比较好，也就是说市场的信息非常透明。但大家知道，在金融里面很多信息是不对称的，是不公开的。在这个不完美市场，如何来解决三个问题，第一个是怎么计算风险，第二是怎么定价，第三是怎么选择投资策略。彭老师这个理论，把这三者集于一体，从方程里面统一解出来。从这个意义来讲，如果说马考维茨的风险理论是金融革命的第一次革命，Black-Scholes公式是金融的第二次革命，那么我们现在正处在第三次金融革命的浪潮当中，传统的定价方式和风险计算方法已经不能满足社会的需要了，否则就没有金融危机了，而彭老师这个理论已经成为第三次金融革命的主流工具，当然很多是由理论产生的。

现在，彭老师的成果受到了国内外很多数学家、金融学家和业界的青睐。可以说过去我们金融是跟踪国际的研究，现在由于彭老师这个理论，我们已经达到了引领国际金融理论研究的新潮流，可以说领跑了，是这样的状态。

汪诘：为中国的数学家感到非常自豪！我知道有一些数学的研究成果，其实在当下是完全找不到应用的。但彭教授的这个研究，却有很多的实际用途。再请钱教授就他的实际应用方面做一点补充。

钱忠民：事实上，彭老师发展这套所谓倒向随机微分方程的理论，是由于在数论里有这样一个问题，他要解决这个数学问题，并不是为了去解决金融的问题，或者是经济的问题。据他自己讲，在他研究这个问题的时候，事实上他也不懂金融，并不是为了解决一个实际应用问题而去做理论。只是过了几年以后，大家都意识到这个很有用，就产生了许多应用。

事实上，这个理论不仅在金融，在数学上面有应用，在数论本身也有应用。这个观点是很重要的，因为彭老师倒向随机微分方程，事实上改变我们对一些问题的认识，改变了一些看法。比如数学里的偏微分方程理论，在经典数学的框架下遇到了很多困难，就是说当偏微分方程比较复杂，现代当代的数学工具就不是很管用。彭老师给我们提供了一个不同的看法，他说你看待一个非线性的系统，就是由偏微分方程来表达的，我看的时候不是这样去看的。我看它的解，看方程是沿着跟费马原来的思想，就是我不是沿着在某时某刻去看一下是什么样子，我是看整个历史，看这个解在历史过程中是怎么样的，然后把它叠加起来。这是一个很新的观点，由此产生了所谓的泛函轨道型的偏微分方程。彭老师的这个理论、观点，事实上开创了一个新的方向，在成熟数学里面也开创了一些新的方向，这个探讨可能今后会有很大的发展。

汪诘：国际数学界公认的最高奖项是菲尔兹奖，你觉得彭教授的研究成果能不能够得上菲尔兹奖？

钱忠民：菲尔兹奖是一个公认很重要的数学奖，至于最高与否，并无定论。但它的限制条件造成了这个奖的局限，它只奖给创造性的、纯数学的工作，只奖给比较年轻的数学家。最简单的例子，比方说纳什，他的很多项数学工作都可以拿菲尔兹奖，但他没有拿到。

我们不能绝对地看为什么我们没有菲尔兹奖。毕竟任何一个奖都会受到评奖委员会的影响，在评奖委员会里面的话语权也是非常重要的。由于历史的原因，我们在这个奖项上面的话语权不是很多，这也影响了对我们一些研究的评估，比如陈景润的研究，也是开创性的工作。这也是为什么我们很高兴看到未来科学大奖评奖委员会参照的是诺贝尔奖的评奖方式，不仅仅局限年轻人，而是把奖授予达到了诺贝尔奖级别的科学成果，我觉得这个思路很好。

汪诘：刚才陈教授提到了Black-Scholes拿到的诺贝尔经济学奖，想继续追问一下，你认为，彭教授的工作与Black-Scholes的工作有没有可比性？或者说直白点问，彭教授的工作值不值得一个诺贝尔经济学奖？

陈增敬：中国人对诺贝尔奖有情结，也表现了中国人想为人类做贡献的更大的愿望。

诺奖的评定本身是不确定的，现在也没有一个数据能预测一个人到底能不能得诺贝尔奖。开个玩笑，不知道彭老师的这个非线性期望理论能不能预测。

倒过来说，Black-Scholes公式的产生的确是基于市场完备的假定下做的，而且假设市场是没有套利。彭老师的理论，是解决不完备市场的定价理论和公式。也就是说，这里面可以有一定的套利，也就是说彭老师的公式加上一个线性条件，就是Black-Scholes公式，Black-Scholes的特殊情况。

应该说彭老师现在的两个理论，被很多的诺贝尔奖获得者引用、推广和发展，比如2011年的托马斯·萨金特和2013年的Lars Peter Hansen，他们多次引用和推广彭老师的成果，对彭老师的工作给予了充分肯定。Hansen多次来山东大学，说是来学习彭老师的理论。

刚才钱教授也说了，得不得奖并不重要，还要看一个成果能不能为人类做贡献、为国家做贡献。有一点我可以肯定，就是彭老师的这个理论，一定和诺贝尔奖获得者的理论一样，能够载入历史的史册。

汪诘：我知道彭教授今年已经有73岁了，我很好奇，他为什么能够保持这么旺盛的学术生命力。您二位不仅是彭教授的同行，也是认识他很多年的好友，我真的很想听听二位来讲讲彭教授生活中的故事。

钱忠民：我认识彭教授很多年了，彭老师身为院士一点学术架子都没有，很平易近人。我印象比较深的是，他对培养年轻学者、年轻人，一直在探索和努力。他几次对我这样说，山东是一个大省，每年至少有三个能够做出诺贝尔奖工作的人才，只是苦于如何去发现和培养。

多年前他有了一个机会，在山东大学创办了泰山学堂。每年从山东大学六千多名新入学的学生中选拔大概100人左右进入学堂，由山东大学、复旦、交大或者国外的名师专门开课培养他们。牛津大学培养人才、精英人才的培养比较出名，所以他就带了一个团队到牛津来取经。请牛津管教学的和一些教授来讲牛津是怎么选拔和培养人材的。

经过几年的努力，成绩确实不错。泰山学堂这几年每年都有毕业生能够去巴黎高师、牛津大学等世界一流大学继续深造。我觉得他在培养人才方面，倾注的精力非常多。

陈增敬：其实，彭老师看起来非常年轻，走路快步如飞。彭老师有一个特别的爱好，特别爱爬山，而且爬山的时候，第一是一般不走老路，第二个不走回头路，一般走险路。这正好体现出“无限风光在险峰”，他就愿意走险路去看风光。这是第一个。

第二个特点，对科研具有独创性。我们经常讨论问题的时候，他给你讲一个定理，一般情况下他不要证明，只要把这个定理的条件和结果说清楚，他说我会想出一个办法给解决。

第三个特点，情感的快速稳定性。大家知道彭老师的活动很多，特别是社会活动。我发现他在活动当中情感极度兴奋，但到了办公室以后，马上就放下了，好像这个事没有发生，马上就开始。彭老师得了这个奖以后，我们通过一次电话。他很平静，还是照常一样到办公室来，处理他日常的工作，该看书看书，该交谈交谈，好像这个事情没有发生一样。

第四个特点，他对新生事物的好奇性。到一个地方看一个东西就问到底为啥？他一定会追究，也没有不好意思，一定会问。

最后，对钱、名、利从来不过问，对于生活琐事、小事，你提这些事他马上就不谈了，马上就放弃，不追究这个方面的东西。

彭老师还有最大的一个优点，他的手机基本上不开。我们现在联系他一般是通过给家里打电话，或者通过其他方式来联系，但是他的手机几乎不开。

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